Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S10

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知借助于等差数列的性质求出a₂，由等差数列的定义得到公差，则数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n可求；
（2）把

1

Sn

进行裂项，然后利用裂项相消法求和．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
由a₁+a₂+a₃=12，得3a₂=12，a₂=4，
又a₁=2，∴d=a₂-a₁=4-2=2，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
数列{a_n}的前n项和为：Sn=

n(a1+an)

2

=

n(2+2n)

2

=n(n+1)；
（2）∵

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S10

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

10

-

1

11

)
=1-

1

11

=

10

11

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．