Question

4．当y=2sin⁶x+cos⁶x取得最小值时，cos2x=3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据同角的三角函数的关系得到y=sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x，再设sin²x=t，则t∈[0，1]，构造函数f（t）=t³+3t²-3t+1，t∈[0，1]，利用导数和最值的关系求出
sin²x=$\sqrt{2}$-1，再根据二倍角公式即可求出答案．

解答 解：y=2sin⁶x+cos⁶x=2sin⁶x+（cos²x）³=2sin⁶x+（1-sin²x）³=2sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x-sin⁶x=sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x，
设sin²x=t，则t∈[0，1]，
则f（t）=t³+3t²-3t+1，t∈[0，1]，
∴f′（t）=3t²+6t-3，
令f′（t）=3t²+6t-3=0，解得t=$\sqrt{2}$-1，
当f′（t）＞0时，即t∈（$\sqrt{2}$-1，1]，函数f（t）单调递增，
当f′（t）＜0时，即t∈[0，$\sqrt{2}$-1]，函数f（t）单调递减，
∴当t=$\sqrt{2}$-1时，函数f（t）有最小值，
∴sin²x=$\sqrt{2}$-1时，函数y=2sin⁶x+cos⁶x取得最小值，
∴cos2x=1-2sin²x=1-2（$\sqrt{2}$-1）=3-2$\sqrt{2}$，
故答案为：$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了同角的三角的关系和二倍角公式和导数和函数的最值的关系，换元是关键，属于中档题．