Question

以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先设出双曲线的标准形式，根据题意得到c-a=a-

a2

c

或c-a=a+

a2

c

成立，再由当c-a=a-

a2

c

成立时得到a=c与双曲线的基本性质相矛盾，故应有c-a=a+

a2

c

成立，整理求解即可得到离心率的值．

解答：解：不妨设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1
由题意可得到c-a=a-

a2

c

或c-a=a+

a2

c

当c-a=a-

a2

c

成立时，得到（a-c）²=0，即a=c不满足题意；
故一定有c-a=a+

a2

c

成立，即a²+2ac-c²=0，即(

c

a

)2-2

c

a

-1=0
∴e=

c

a

=1-

2

（舍）或1+

2

故答案为：1+

2

点评：本题主要考查双曲线的基本性质．考查基础知识的应用．