Question

5．已知某厂每天的固定成本是20000元，每天最大规模的产品量是350件．每生产一件产品，成本增加100元，生产x件产品的收入函数是R（x）=-$\frac{1}{2}$x²+400x，记L（x），P（x）分别为每天的生产x件产品的利润和平均利润 （平均利润=$\frac{总利润}{总产量}$）．
（1）每天生产量x为多少时，利润L（x）有最大值？；
（2）每天生产量x为多少时，平均利润P（x）有最大值？若该厂每天生产的最大规模为180件，那么每天生产量x为多少时，平均利润P（x）有最大值？

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售收入-成本，结合销售收入函数，利用配方法，即可得出结论；
（2）求出平均利润P（x），利用导数知识，确定函数的单调性，即可求出最大值．

解答 解：（1）依题意得利润 $L（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000$，x∈（0，320]…（2分）
$L（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000=-\frac{1}{2}{（x-300）^2}+25000$…（3分）
∵x∈（0，320]，
∴当x=300时，L（x）有最大值…（4分）
（2）依题意得  $P（x）=\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000}}{x}=-（\frac{1}{2}x+\frac{20000}{x}）+300$，x∈（0，320]…（6分）
$P'（x）=-\frac{1}{2}+\frac{20000}{x^2}=\frac{{40000-{x^2}}}{{2{x^2}}}$，
当x∈（0，200）时，P'（x）＞0，P（x）在（0，200）递增，
当x∈（200，320）时，P'（x）＞0，P（x）在（0，200）递增…（8分）
∴当x=200时，P（x）有最大值…（9分）
若x∈（0，180]，由上可知P（x）在（0，180]上为增函数，
∴当x=180，平均利润P（x）有最大值…（11分）
答：（1）当产量为300件时，L（x）有最大值；（2）当产量为200时，P（x）有最大值，若该最大产量为180件时，则当产量为180时，P（x）有最大值…（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是正确构建函数，利用导数知识求解．