Question

下列对于函数y=sinx+cosx的命题中，正确命题的序号为     ．
①存在，使；②存在，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；④函数f（x）的图象关于点对称．

Answer 1

【答案】分析：化简函数y=sinx+cosx为sin（x+），确定函数的值域，判断①的错误；找出特殊值判断②；函数的对称轴判断③的正误；代入函数成立，说明④正确．
解答：解：函数y=sinx+cosx=sin（x+），时 y∈（1，]，因为（1，]，所以①正确．
f（x+α）=f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，显然②不正确；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，所以正确．
④函数f（x）的图象关于点对称，当x=时f（）=0，满足题意，所以正确．
故答案为：①③④
点评：本题是综合题目，考查正弦函数的图象及性质，能够充分利用已知条件，灵活解题是关键，考查分析问题解决问题的能力．