Question

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于半径为R的半球，上底面顶点A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，则该正四棱柱体积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：在图形中令球心为O，连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，则可用球的半径R与α的三角函数值将棱柱的高与底面边长表示出来，由此可以将棱柱的体积表示成解α的函数，求这个三角函数的最大值即可得到该正四棱柱体积的最大值

解答：解：如图在图形中令球心为O，底面边长为a，连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，由图OA₁=R，则棱柱的高是Rsinα，底面正方形的对角线长的一半是Rcosα
即

2

a=2Rcosα，由此得底面边长是

2

Rcosα
故正四棱柱的体积是V=2R²cos²α×Rsinα=2R³cos²αsinα
V'=2R³（-2cosαsin²α+cos³α）=2R³cosα（-2+3cos²α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos²α=

2

3

，即sin²α=

1

3

，sinα=

3

3

由此知正四棱柱体积的最大值为V=2R³×

2

3

×

3

3

=

4 3

9

R3
故答案为：

4 3

9

R3

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，求解本题关键是建立三角函数模型将正四棱柱体积用三角函数模型表示出来，然后借助导数研究出三角函数的最大值得出体积的最大值来，本题属于三角函数模型在求面积中的应用，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法．