Question

如图，已知平面AEMN丄平面ABCD，四边形AEMN为 正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC=CD=2AB=2，E 为 CD 的中点．
（I ）求证：MC∥平面BDN；
（II）求多面体ABDN的体积．

Answer 1

解：（I ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，∴ABCE，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴BCAE，
∵四边形AEMN是正方形，∴AEMN，∴BCMN，
所以四边形BCMN为平行四边形，
∴MC∥NB，
又∵NB?平面BDN，MC?平面BDN，
∴MC∥平面BDN；
（II）因为平面AEMN丄平面ABCD，
平面AEMN∩平面ABCD=AE，
又AN⊥AE，AN?平面AEMN，
∴AN⊥平面ABCD，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴BC的长度就是D到AB的距离，
∴V_A-BDN=V_N-ABD====．
∴多面体V_A-BDN的体积为．
分析：（I ）通过证明四边形AEMN为平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理证明MC∥平面BDN；
（II）说明BC的长度就是D到AB的距离，利用V_A-BDN=V_N-ABD，求出多面体ABDN的体积．
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力空间想象能力．