题目内容
在△ABC中，tanA=
，tanB=
，且最长边为
，求
（1）∠C的大小；
（2）最短的边长．
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
（1）∠C的大小；
（2）最短的边长．
考点：两角和与差的正切函数,余弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）由内角和定理和诱导公式得：tanC=-tan（A+B），利用两角和的正弦公式求出tanC，根据内角的范围求出C的值；
（2）由正切值和C的大小确定出最长边和最短边，由同角的三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出最短边．
（2）由正切值和C的大小确定出最长边和最短边，由同角的三角函数的基本关系求出sinA，由正弦定理求出最短边．
解答：
解：（1）由A+B+C=π得，C=π-（A+B），且tanA=
，tanB=
，
所以tanC=-tan（A+B）=-
=-
=-
=-1，
因为0＜C＜π，所以C=
；
（2）因为C=
，且
＞
，所以A是最小角，则c是最长边、a是最短边，
由tanA=
得，
，解得sinA=
，
由正弦定理得，
=
，则a=
=
，
所以最短的边长是
．
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 7 |
所以tanC=-tan（A+B）=-
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| ||||
1-
|
| 14+15 |
| 35-6 |
因为0＜C＜π，所以C=
| 3π |
| 4 |
（2）因为C=
| 3π |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
由tanA=
| 2 |
| 5 |
|
2
| ||
| 29 |
由正弦定理得，
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| ||||||
|
4
| ||
| 87 |
所以最短的边长是
4
| ||
| 87 |
点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，注意三角函数值的符号，属于中档题．
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