题目内容
5．已知a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．分析 运用分析法证明，要证原不等式成立，可通过两边平方，化简整理，再由配方即可得证．
解答 证明：由a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，
可得a+$\frac{1}{2}$≥0，b+$\frac{1}{2}$≥0，
要证$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
两边平方即证a+b+1+2$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤4，
即为$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤1，
再两边平方可得（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≤1，
展开即为ab+$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{4}$≤1，代入a+b=1，
可得ab≤$\frac{1}{4}$，即有a（1-a）-$\frac{1}{4}$≤0，
即为-（a-$\frac{1}{2}$）2≤0，显然成立．
则原不等式成立．
点评 本题考查不等式的证明，运用了分析法证明，这是常用方法，本题也可运用柯西不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），考查推理能力，属于中档题．
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15．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据
（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
| 方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验总次数 |
| A | 甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 |
| B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
| C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
16．某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R（单位：公里）分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250．该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如表：
（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万公里的概率；
（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．
（ⅰ）求n的值；
（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率．
| 类型 | A类 | B类 | C类 |
| 已行驶总里程不超过10万公里的车辆数 | 10 | 40 | 30 |
| 已行驶总里程超过10万公里的车辆数 | 20 | 20 | 20 |
（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．
（ⅰ）求n的值；
（ⅱ）如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率．
13．一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张标签，随机地选取7张标签，则取出的7张标签的标号的平均数是5的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $\frac{2}{9}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{8}{9}$ |
20．环保部门在某社区对年龄在10到55岁的居民随机抽取了2000名进行环保知识测评，测试结果按年龄分组如表：
已知在全部样本中随机抽取1人，抽到年龄在[25，40）间测试成绩优秀的概率是0.32．
（I）现用分层抽样的方法在全部样本中抽取200人，问年龄在[40，55]内共抽取多少人？
（Ⅱ）当社区测试总优秀率不小于90%，可获评爱护环境先进单位奖，已知b≥485，c≥55，问在此前提下该社区获奖的概率．
| 分组 | [10，25） | [25，40） | [40，55] |
| 成绩优秀 | 670 | a | b |
| 成绩一般 | 80 | 60 | c |
（I）现用分层抽样的方法在全部样本中抽取200人，问年龄在[40，55]内共抽取多少人？
（Ⅱ）当社区测试总优秀率不小于90%，可获评爱护环境先进单位奖，已知b≥485，c≥55，问在此前提下该社区获奖的概率．
17．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：
（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品．以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X表示其中合格品个数，求随机变量X的分布列、期望和方差．
（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）
| 产品编号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ |
| 电压（x） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 电流（y） | 0.6 | 0.8 | 1.4 | 1.2 | 1.5 |
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品．以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X表示其中合格品个数，求随机变量X的分布列、期望和方差．
（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA1=4，且A1C⊥底面ABCD．