Question

10．已知A，B是函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$的图象上任意两点，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），点M（$\frac{1}{2}$，m）．
（I）求m的值；
（II）若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n∈N^*，且n≥2，求S_n．
（III）已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{{S}_{n}，n≥2}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．T_n为数列{a_n}的前项和，若T_n＞λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$可知M是AB的中点，根据中点坐标公式求得x₁和x₂的关系，代入函数解析式即可求得m的值；
（2）由（1）可知，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，采用倒序相加法，即可求求得S_n；
（3）由题意可知当n≥2时，${a_n}=\frac{n-1}{2}$，求得数列{a_n}的前n项和T_n，由T_n＞λ（S_n+1+1），采用分离变量即可求得λ的表达式，即可求得λ的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴M是AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=\frac{1}{2}$，得x₁+x₂=1，则x₁=1-x₂，x₂=1-x₁，
而$m=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x_1}{{1-{x_1}}}+\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x_2}{{1-{x_2}}}）$，
=$\frac{1}{2}（1+{log_2}\frac{x_1}{x_2}+{log_2}\frac{x_2}{x_1}）$，
=$\frac{1}{2}（1+{log_2}\frac{x_1}{x_2}•\frac{x_2}{x_1}）=\frac{1}{2}$
∴$m=\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知：x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
${S_n}=f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，
${S_n}=f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）+…+f（\frac{1}{n}）$，
两式相加，得：$2{S_n}=[f（\frac{1}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）]+[f（\frac{2}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）]+…+[f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{1}{n}）]$=$\underbrace{1+1+…+1}_{n-1}=n-1$，
∴${S_n}=\frac{n-1}{2}$（n≥2，n∈N）．
（3）当n≥2时，${a_n}=\frac{n-1}{2}$，${T_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}n（n-1）=\frac{{{n^2}-n+2}}{4}$，
由T_n＞λ（S_n+1+1），得$\frac{{{n^2}-n+2}}{4}＞λ\frac{n+2}{2}$，
∴$λ＜\frac{{{n^2}-n+2}}{2（n+2）}$对任意n≥2，n∈N^*都成立，
$\frac{{{n^2}-n+2}}{2（n+2）}=\frac{1}{2}[（n+2）+\frac{8}{n+2}-5]≥\frac{1}{2}（4+\frac{8}{4}-5）=\frac{1}{2}$，
当且仅当n=2时等号成立，
∴$λ＜\frac{1}{2}$．
当n=1时，λ＜$\frac{1}{3}$，
综上可知$λ＜\frac{1}{2}$．
故λ的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查数列的前n项和，涉及了向量的中点坐标公式、采用倒序相加法求前n项和及不等式的性质，考查分析问题及解决问题得能力，综合能力强，属于中档题．