Question

10．已知函数f（x）=x-lnx+a-1，g（x）=$\frac{x^2}{2}$+ax-xlnx，其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，g（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$-lna，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数的符号求解函数的单调性．
（2）利用g'（x）=x-lnx+a-1=f（x）．结合（1）知，判断g（x）在[1，+∞）上单调递增，求出g（x）的最小值，推出a+lna-1＞0，令h（a）=lna+a-1，利用h（a）在（0，+∞）上单调递增．求解a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． （1分），
$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．（2分）
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．（4分）
（2）易知g'（x）=x-lnx+a-1=f（x）．
由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，
所以当x≥1时，g'（x）≥g'（1）=a＞0．
从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，（5分）
所以g（x）的最小值$g（1）=a+\frac{1}{2}$．（6分）
依题意得$a+\frac{1}{2}$$＞\frac{3}{2}-lna$，即a+lna-1＞0．（7分）
令h（a）=lna+a-1，易知h（a）在（0，+∞）上单调递增．
所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值范围是（1，+∞）．（8分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．