Question

关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：
①由f （x₁）=f （x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②若x₁，x₂∈（-，），且2f（x1）=f（x₁+x₂+），则x₁＜x₂；
③函数的图象关于点（-，0）对称；
④函数y=f （-x）的单调递增区间可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+（k∈Z）求得．
正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：对于①和③通过利用三角函数的函数值等于0分析变量x₁ 和x₂ 的取值情况，从而判断命题的真假；
对于④，直接利用求复合函数单调性的方法加以判断；
②的判断稍微困难，分析得到[-，]为f（x）的第一个周期，利用周期性加以变形，得到2f（x₁）=2sin（2x₁+），然后利用sin（）=2sin（）cos（）＜sin（），结合单调性即可得到结论．
解答：解：对于①．令2x+=kπ，得到x=（k是整数），
由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是的整数倍，故①错误；
对于②．f（x）=4sin（2x+），
求解得f（-）=0，f（）=1，周期T=π．
则[-，]为f（x）的第一个周期（此周期内f（x）单调增大于0）．
设x₁，x₂ 的取值区间为D，
2f（x₁）=2sin（2x₁+）
f（）=sin（）
由于cos（）在D中取值范围为（0，1），得
sin（）=2sin（）cos（）＜sin（）
即sin（）＜sin（）
又，在D中f（x）性质如上述，由单调性有x₁＜x₂．故②正确；
对于③．令2x+=kπ，得到x=（k是整数），当k=0时，得到x=-，
所以函数y=f（x）的图象关于点（-，0）对称．故③正确；
对于④．函数y=f （-x）=，
若求其增区间，只需让在正弦函数的减区间内即可，故④不正确．
所以正确的命题的序号是②③．
故答案为②③．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了正弦型复合函数的性质，解答的关键是熟记课本基础知识，是中档题．