Question

14．数列{a_n}满足a₁=1，且2a_n-1-2a_n=a_na_n-1（n≥2），则a_n=（　　）

• A． $\frac{2}{n+1}$
• B． $\frac{2}{n+2}$
• C． （$\frac{2}{3}$）ⁿ
• D． （$\frac{2}{3}$）^n-1

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a₁=1，且2a_n-1-2a_n=a_na_n-1（n≥2），可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且2a_n-1-2a_n=a_na_n-1（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差为$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．