题目内容
16．已知函数f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-\frac{1}{a^x}）$（a＞0且a≠1）（1）①若a=$\sqrt{2}$，判断函数的单调性（可不证明）；②判断并证明函数的奇偶性；
（2）问：在y=f（x）的图象上是否存在两个不同点A、B，使直线AB与x轴平行？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由．
分析 （1）①若a=$\sqrt{2}$，写出函数解析式，即可判断函数的单调性；②利用奇函数的定义，判断并证明函数的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）为定义域上的单调函数即可说明不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．
解答 解：（1）①若a=$\sqrt{2}$，f（x）=$\sqrt{2}[（\sqrt{2}）^{x}-\frac{1}{（\sqrt{2}）^{x}}]$单调递增；
②函数f（x）是奇函数，证明如下
f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$=-f（x），函数f（x）是奇函数；
（2）不存在，理由如下：
设x1，x2∈R且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=$\frac{a（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{（{a}^{2}-1）{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+1＞0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+＞0，而不论a＞1 还是0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$与a2-1同号
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数．
故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．
点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的定义及其证明，代数变换推理证明能力．
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| A． | 4$\sqrt{2}$ | B． | 3+$\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{2}$+1 | D． | 3+2$\sqrt{2}$ |
5．函数f（x）的导函数f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（ ）
| A． | （2，+∞） | B． | （0，1） | C． | （1，+∞） | D． | （0，ln2） |