Question

1．如图，AC=2，BC=4，∠ACB=$\frac{2}{3}$π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=$\frac{π}{2}$，DE=2，且直线AE与CD所成角为$\frac{π}{3}$，AB⊥CD．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥C-ABE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，利用线面垂直的判定得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面ABC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）可得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，进一步得到∠AEF为直线AE与CD所成角，然后求解直角三角形得AF=$2\sqrt{3}$．进一步得EF=2，然后利用等积法求得三棱锥C-ABE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又CD?平面BCDE，
∴平面ABC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）解：如图，过E作EF⊥BC，连接AF，
由（Ⅰ）得，EF⊥平面ABC，
且EF∥CD，CF=DE=2，
∴$∠AEF=\frac{π}{3}$．
在△ACF中，$A{F^2}=A{C^2}+C{F^2}-2AC\;•\;CF\;•\;cos\frac{2}{3}π$=12，
∴AF=$2\sqrt{3}$．…（9分）
在Rt△AEF中，可得EF=2，
∴${V_{三棱锥C-ABE}}={V_{三棱锥E-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}\;•\;EF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×sin\frac{2}{3}π×2=\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质和判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．