Question

11．如图，已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，曲线C₂：y=x²-1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E两点，则$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MD}$的值是（　　）

• A． 正数
• B． 0
• C． 负数
• D． 皆有可能

Answer 1

分析 由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，再结合$\overrightarrow{MD}=λ\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{ME}=μ\overrightarrow{MB}$得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过原点的直线l：y=tx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-tx-1=0．
则x₁+x₂=t，x₁x₂=-1．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x}_{1}，{y}_{1}+1）•（{x}_{2}，{y}_{2}+1）$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）
=（t²+1）x₁x₂+t（x₁+x₂）+1=-（t²+1）+t²+1=0．
而$\overrightarrow{MD}=λ\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{ME}=μ\overrightarrow{MB}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MD}$=$λμ\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．