Question

2．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3，g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，若?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），则实数t的取值范围是$[-\frac{4}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$，利用复合函数、指数函数与二次函数的单调性可得最大值．g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，利用导数研究其单调性即可得出最大值．根据?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），可得g（x）_max≥f（x）_max，即可得出．

解答 解：函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x2+4x+3=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$，
∵x∈R，∴u（x）=（x+2）²-1≥-1，
∴f（x）∈（0，2]．
∵g（x）=x+$\frac{1}{x}$+t，g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
∴当x∈[1，3]时，g′（x）≥0，
∴函数g（x）在x∈[1，3]时的单调递增，∴g（x）_max=g（3）=$\frac{10}{3}$+t．
?x₁∈R，?x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≤g（x₂），
∴g（x）_max≥f（x）_max，∴$\frac{10}{3}$+t≥2，解得$t≥-\frac{4}{3}$．
则实数t的取值范围是$[-\frac{4}{3}，+∞）$．
故答案为：$[-\frac{4}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了指数函数与二次函数的单调性、利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．