Question

1．数列{a_n}的前n项和a₁+a₂+a₃+…+a_n可简记为$\sum_{i=1}^n{a_i}$．已知数列{a_n}满足a₁=1，且${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{n+1}$，n∈N，则$\sum_{k=1}^{2015}{k（{a_{2016}}}-{a_k}）$=1015560．

Answer 1

分析 由${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{n+1}$，根据递推公式a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，根据等差数列前n项和公式，即可求得$\sum_{k=1}^{2015}{k（{a_{2016}}}-{a_k}）$值．

解答 解：由${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{n+1}$，
得：${a_n}={a_{n-1}}+\frac{1}{n}={a_{n-2}}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}={a_{n-3}}+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=…=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴$k（{a_{2016}}-{a_k}）=k（\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}）$，
$\sum_{k=1}^{2015}{k（{a_{2016}}}-{a_k}）$=$1•（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}）+2•（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}…+\frac{1}{2016}）+3•（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2016}）+…+2015•\frac{1}{2016}$，
=$\frac{1}{2}+（1+2）•\frac{1}{3}+（1+2+3）•\frac{1}{4}+…+（1+2+…+k）•\frac{1}{k+1}+（1+2+…+2015）•\frac{1}{2016}$，
=$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+…+\frac{k}{2}+…+\frac{2015}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{（1+2015）•2015}{2}=1015560$．
$\sum_{k=1}^{2015}{k（{a_{2016}}}-{a_k}）$=1015560．
故答案为：1015560．

点评 本题考查利用递推公式求等差数列前n项和，考查等差数列前n项和的应用，考查计算能力，属于中档题．