Question

9．已知复数z=$\frac{（-1+3i）（1-i）-（1+3i）}{i}$，ω=z+ai（a∈R），当|$\frac{ω}{z}$|≤$\sqrt{2}$时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，然后代入ω=z+ai，再求出$\frac{ω}{z}$，由复数求模公式求出$|\frac{ω}{z}|$，求解一元二次不等式可得答案．

解答 解：$z=\frac{（-1+3i）（1-i）-（1+3i）}{i}=\frac{（2+4i）-（1+3i）}{i}=\frac{1+i}{i}=1-i$，
∵ω=z+ai=1-i+ai=1+（a-1）i，
∴$\frac{ω}{Z}=\frac{1+（a-1）i}{1-i}=\frac{[1+（a-1）i]（1+i）}{2}=\frac{2-a+ai}{2}$．
∴$|\frac{ω}{z}|=\frac{{\sqrt{{{（2-a）}^2}+{a^2}}}}{2}≤\sqrt{2}$，
∴a²-2a-2≤0，
解得$1-\sqrt{3}≤a≤1+\sqrt{3}$．
故a的取值范围是[$1-\sqrt{3}，1+\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法以及一元二次不等式的解法，是基础题．