Question

已知实数x，y满足条件：

x-y+2≥0 3x-y-2≤0 x≥0 y≥0

，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由约束条件

x-y+2≥0 3x-y-2≤0 x≥0 y≥0

作差可行域如图，
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
则直线的斜率k=-

a

b

＜0，截距最大时，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时z最大，
由

x-y+2=0 3x-y-2=0

，解得

x=2 y=4

，
即A（2，4），
此时z=2a+4b=6，
即a+2b=3，
∴3=a+2b≥2

2ab

，即

ab

≤

3

2 2

，ab≤

9

8

，当且仅当a=2b，即a=

3

2

，b=

3

4

时上式“=”成立．
∴ab的最大值为

9

8

．
故答案为：

9

8

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．