Question

16．关于下列命题：
①函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的一条对称轴为直线：$x=-\frac{π}{6}$；
②函数$y=cos2（{\frac{π}{3}-x}）$是偶函数；
③函数$y=4sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的一个对称中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$；
④函数$y=sin（{x+\frac{π}{4}}）$在闭区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上是增函数
写出所有所有正确的命题的序号：①③．

Answer 1

分析 利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性以及它们的图象的对称性，得出结论．

解答 解：令x=-$\frac{π}{6}$，求得cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1，为函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的最大值，故①函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的一条对称轴为直线$x=-\frac{π}{6}$，正确．
∵函数$y=cos2（{\frac{π}{3}-x}）$=cos（$\frac{2π}{3}$-2x）=-sin（$\frac{π}{6}$-2x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）是非奇非偶函数，故②错误；
令x=$\frac{π}{6}$，求得函数$y=4sin（{2x-\frac{π}{3}}）$=0，故该函数的图象的一个对称中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$，故③正确；
在闭区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故函数$y=sin（{x+\frac{π}{4}}）$在闭区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上不是增函数，故④错误，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性以及它们的图象的对称性，属于基础题．