Question

7．如图，已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F是其左焦点，A、B在椭圆上，满足FA∥OB且|FA|：|OB|=3：2，则点A的横坐标为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设出A的坐标，由题意方程求得F的坐标及椭圆的离心率，由焦半径公式求得|AF|，求出AF的斜率，得到OB的方程，联立OB方程与椭圆方程，求出B的坐标，得到|OB|，结合|FA|：|OB|=3：2列式求得答案．

解答 解：设A（x₀，y₀），
∵A（x₀，y₀）在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
由椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1得，a²=2，b²=1，
∴c²=a²-b²=2-1=1，则c=1，
∴F（-1，0），e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则|AF|=$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}$，
又${k}_{AF}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，且FA∥OB，∴${k}_{OB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
∴OB所在直线方程为$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}+3}}\\{{y}^{2}=\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2{x}_{0}+3}}\end{array}\right.$，
则|OB|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}+3}+\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2{x}_{0}+3}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{0}+2）^{2}}{2{x}_{0}+3}}$，
由|FA|：|OB|=3：2，
得$\frac{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}}{\sqrt{\frac{（{x}_{0}+2）^{2}}{2{x}_{0}+3}}}=\frac{3}{2}$，解得：${x}_{0}=\frac{3}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆焦半径公式的应用，考查运算能力，是中档题．