Question

（本小题满分12分）设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）;（Ⅲ）是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）短轴长为，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）假设存在的直线，联立直线方程与椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出再根据，即可解出；（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在，（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b，联立直线方程与椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出高，则 所以三角形的面积为定值.

试题解析：（Ⅰ） 椭圆的方程为

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

由已知得：

（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即,由得又 在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值

（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

所以三角形的面积为定值.

考点：1、求椭圆方程；2、直线与椭圆的相交问题；3、弦长公式.