Question

5．已知定义在R上函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$对任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，那么a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{7}$，1）

Answer 1

分析 根据函数的单调性定义可知函数f（x）在R上为减函数，再根据函数的解析式得到关于a的不等式组，解得即可．

解答 解：对任意x₁≠x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴函数f（x）在R上为减函数，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{7a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
故选：C

点评 本题考查了函数的单调性的定义和分段函数的问题，以及不等式的解法，属于中档题．