Question

 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点.

(1) 求证:CM∥平面SAE;

(2) 求证:SE⊥平面SAB;

(3) 求三棱锥SAED的体积.

Answer 1

 (1) 取SA的中点N,连接MN,

因为M为SB的中点,N为SA的中点,所以MN∥AB,且MN=AB.

又E为CD的中点,所以CE∥AB,且CE=AB.

所以MN∥CE,且MN=CE,

所以四边形CENM为平行四边形,

所以CM∥EN.

又EN平面SAE,CM⊄平面SAE,所以CM∥平面SAE.

(2) 因为侧面SCD是直角三角形,∠CSD为直角,E为CD的中点,所以SE=1.

又SA=AB=2,AE=,所以SA2+SE2=AE2,

则ES⊥SA.

同理可证ES⊥SB.

因为SA∩SB=S,所以SE⊥平面SAB.

(3) ===×××4×1=.