Question

若函数

x2-2x-1，(x≥0) x2+mx-1，(x＜0)

是偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数y=f（x）的图象，并写出其单调区间；
（3）就实数k的取值范围，讨论函数y=f（x）-k零点的个数．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数单调性的判断与证明,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，1-2-1=1-m-1，从而解出m；
（2）作出函数图象，由图象写出其单调区间；
（3）由图象讨论函数y=f（x）-k零点的个数．

解答： 解：（1）由题意，
1-2-1=1-m-1，
解得，m=2；
（2）作出函数y=f（x）的图象如下，

单调减区间：（-∞，-1），（0，1）；
单调增区间：（-1，0），（1，+∞）．
（3）由图可知，
①当k＜-2时，函数y=f（x）-k没有零点；
②当k=-2时，函数y=f（x）-k有两个零点；
③当-2＜k＜-1时，函数y=f（x）-k有4个零点；
④当k=-1时，函数y=f（x）-k有3个零点；
⑤当k＞-1时，函数y=f（x）-k有两个零点．

点评：本题考查了函数性质的应用及函数图象的作法，属于中档题．