Question

已知椭圆(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

 

Answer 1

(1) (2) 直线经过定点

【解析】

试题分析：(1) 椭圆(a>b>0)经过点M(，1) ,

且有 ，通过解方程可得从而得椭圆的标准方程.

(2) 设当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

由

另一方面：

通过以上两式就不难得到关于的等式，从而探究直线是否过定点；

至于直线AB斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可.

试题解析：

【解析】
(1)由题意得①

因为椭圆经过点，所以②

又③

由①②③解得

所以椭圆方程为. 4分

(2)【解析】
①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

代入，消去整理得 6分

由得（*）

设则

所以，

= 8分

得

整理得

从而 且满足（*）

所以直线的方程为 10分

故直线经过定点 2分

②当直线与轴垂直时，若直线为 ，此时点 、 的坐标分别为

、，亦有 12分

综上，直线经过定点. 13分

考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系.