Question

9．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，4），且在区间[-1，4]上的最大值为10．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：$\frac{2{x}^{2}+（m-8）x-{m}^{2}}{f（x）}$＞1（m＞0）．

Answer 1

分析 （1）由不等式解集的形式判断出0，4是f（x）=0的两个根，利用二次函数的两根式设出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）将分式不等式转化为整式不等式，通过对两个根的讨论写出不等式的解集

解答 解（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，4），
∴0，4为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，
∴b=-4a，且a＞0，c=0，
∴f（x）=ax²-4ax，
又当[-1，4]时，f（x）_max=f（-1）=5a=10，
∴a=2，
∴f（x）=2x²-8x，
（2）由已知有$\frac{2{x}^{2}+（m-8）x-{m}^{2}}{2{x}^{2}-8x}$＞1，即$\frac{m（x-m）}{2x（x-4）}$＞0．
等价于x（x-m）（x-4）＞0，
∴当0＜m＜4时，不等式的解集为{x|0＜x＜m，或x＞4}，
当m=4时，不等式的解集为{x|0＜x＜4，或x＞4}，
当m＞4，不等式的解集为{x|0＜x＜4，或x＞m}．

点评 本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．一元二次不等式的解集的区间端点值为对应方程的根．