Question

1．已知函数f（x）=cosx•sin（x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（$\frac{2π}{3}$）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式直接求出f（$\frac{2π}{3}$）的值；
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{2π}{3}$）=cos$\frac{2π}{3}$•sin$\frac{π}{2}$=-$\frac{1}{2}$•1=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵函数f（x）=cosx•sin（x-$\frac{π}{6}$）
=cosx（sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$•cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故该函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查求三角函数的值，三角恒等变换及正弦函数的单调性，属于基础题．