Question

4． 如图，点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，且点M到两焦点的距离之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设MO（O为坐标原点）处置的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知条件设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，把点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）代入，能求出椭圆的方程．
（2）设AB的方程为y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+m，联立椭圆方程，得11x²-6$\sqrt{6}$mx+6m²-18=0，由△＞0求出0≤m²＜$\frac{33}{2}$，由此能求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0）F₂（c，0）．
点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为6，
∴2a=6，a=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把点M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$ ）代入，得$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得b²=3，
∴椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵k_MO=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），
∴设AB的方程为y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=-\frac{\sqrt{6}}{2}x+m\end{array}\right.$，消去y，得：
11x²-6$\sqrt{6}$mx+6m²-18=0，
△=（6$\sqrt{6}$m）²-4×11×（6m²-18）＞0，
解得m²＜$\frac{33}{2}$，
即0≤m²＜$\frac{33}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{6\sqrt{6}m}{11}$，x₁x₂=$\frac{6{m}^{2}-18}{11}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5}{2}$x₁x₂-$\frac{\sqrt{6}}{2}$m（x₁+x₂）+m²=$\frac{8{m}^{2}-45}{11}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-$\frac{45}{11}$，$\frac{87}{11}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．