Question

6．焦点在y轴的椭圆x²+ky²=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，将椭圆的方程变形为$\frac{{x}^{2}}{1}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{k}}$=1，由其焦点的位置可得a=$\sqrt{\frac{1}{k}}$，b=1，结合题意，其长轴长是短轴长的2倍，则有2$\sqrt{\frac{1}{k}}$=2×2，解可得k的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为x²+ky²=1，
变形可得$\frac{{x}^{2}}{1}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{k}}$=1，
又由其焦点在y轴上，则$\frac{1}{k}$＞1，且a=$\sqrt{\frac{1}{k}}$，b=1，
若其长轴长是短轴长的2倍，则有2$\sqrt{\frac{1}{k}}$=2×2，
解可得k=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，注意要先将方程变形为标准方程．