Question

16．已知f（x）=lnx-ax+1，其中a为常实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，求证：f（x）≤0；
（3）当n≥2，且n∈N*时，求证：$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{{2}^{2}}+\frac{ln4}{{2}^{3}}+…+\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证明结论；
（3）根据lnn＜n-1通过赋值，得到S=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，求出$\frac{1}{2}$S，错位相减证明结论即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
（2）a=1时，由（1）f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_max=f（1）=0，故f（x）≤0；
（3）由（2）得：n≥2且n∈N^*时，lnn＜n-1，
于是$\frac{ln2}{2}$+$\frac{ln3}{{2}^{2}}$+$\frac{ln4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
令S=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$①，
则$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$②，
错位相减得：S=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，则S＜2，
故$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{{2}^{2}}+\frac{ln4}{{2}^{3}}+…+\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$＜2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．