Question

18．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{m+3}$=1表示的曲线为双曲线；q：函数y=（m²-m-1）^x为增函数，分别求出符合下列条件的实数m的范围．
（Ⅰ）若命题“p且q”为真；
（Ⅱ）若命题“p或q”为真，“p且q”为假．

Answer 1

分析 由命题p与q分别求出m的范围．
（Ⅰ）若命题“p且q”为真，则p、q均为真，把命题p与q中的m的范围取交集得答案；
（Ⅱ）若命题“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，再由p真q假，p假q真分别求出m的范围，最后取并集得答案．

解答 解：由方程$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{m+3}$=1表示的曲线为双曲线，得m（m+3）＞0，即m＜-3或m＞0，
由函数y=（m²-m-1）^x为增函数，得m²-m-1＞1，解得：m＜-1或m＞2．
（Ⅰ）若命题“p且q”为真，则p、q均为真，
把命题p与q中的m的范围取交集可得，m＜-3或m＞2；
（Ⅱ）若命题“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，
若p真q假，则0＜m≤2；
若p假q真，则-3≤m＜-1．
∴使命题“p或q”为真，“p且q”为假的m的取值范围是-3≤m＜-1或0＜m≤2．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查了复合命题的真假判断，是中档题．