Question

10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的动点P向圆x²+y²=2引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△MON的面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直线方程，求得M，N的坐标，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由OA⊥PA，可得切线PA：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-x₁），
x₁²+y₁²=2，
化简可得x₁x+y₁y=2，
同理PB的方程x₂x+y₂y=2，
而PA、PB交于P（x₀，y₀），
即x₁x₀+y₁y₀=2，x₂x₀+y₂y₀=2，
可得AB的直线方程为：x₀x+y₀y=2，
即有M（$\frac{2}{{x}_{0}}$，0），N（0，$\frac{2}{{y}_{0}}$），
又S_△MON=$\frac{1}{2}$|OM|•|ON|=|$\frac{2}{{x}_{0}{y}_{0}}$|，
又|x₀y₀|=2|$\frac{{x}_{0}}{2}$•y₀|≤$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
则S_△MON≥2，
当且仅当|x₀|=2|y₀|时，△MON的面积的最小值为2．
故选：C．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要是切线方程的求法，考查三角形的面积的最值，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．