Question

5．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$的最大值为$12\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$表示成θ的三角函数，求出最大值

解答 解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2$\sqrt{3}$，
以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2$\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，3）．
设M（2$\sqrt{3}$cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{OM}$=（2$\sqrt{3}$cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$=-18cosθ+6$\sqrt{3}$sinθ=12$\sqrt{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∵-1≤sin（θ-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-12$\sqrt{3}$≤12$\sqrt{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$）≤12$\sqrt{3}$，
故$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$的最大值为12$\sqrt{3}$，
故答案为：12$\sqrt{3}$

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．