Question

15．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，4），其焦点F在x轴上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意先设出抛物线的标准方程，把点A代入即可求得p，则抛物线的方程可得．
（2）根据（1）中抛物线的方程求得焦点的坐标，根据直线OA的斜率可求得直线OA垂直的直线的斜率，最后利用点斜式求得直线的方程．

解答 解：（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为y²=2px．
因为点A（2，2）在抛物线C上，所以p=4．
因此，抛物线C的标准方程为y²=8x．
（2）由（1）可得焦点F的坐标是（2，0），
又直线OA的斜率为$\frac{4-0}{2-0}=2$，
故与直线OA垂直的直线的斜率为$-\frac{1}{2}$，
因此，所求直线的方程是x+2y-2=0．

点评 本题主要考查了抛物线的标准方程，直线的一般方程．考查了抛物线的基础知识的理解和灵活利用．在求得抛物线的标准方程时要特别注意抛物线的开口方向．