Question

2．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的顶点为A₁，A₂，P为双曲线上一点，直线PA₁交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A₂M和A₂P的斜率分别为k₁，k₂，若A₂M⊥PA₁且k₁+4k₂=0，则双曲线C离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即为$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由A₁（-a，0），A₂（a，0），A₂M⊥PA₁，
可得PA₁的斜率为$\frac{n}{m+a}$=-$\frac{1}{{k}_{1}}$，
可得PA₂的斜率为$\frac{n}{m-a}$=k₂=-$\frac{1}{4}$k₁，
两式相乘可得，$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即为b=$\frac{1}{2}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．