Question

6．考察下列等式：
cosθ+isinθ=a₁+b₁i，
（cosθ+isinθ）²=a₂+b₂i，
（cosθ+isinθ）³=a₃+b₃i，
…
（cosθ+isinθ）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数．由归纳可得，当θ=$\frac{π}{2}$时，a₂₀₁₆+b₂₀₁₆的值为1．

Answer 1

分析 由题意，（cosθ+isinθ）²⁰¹⁶=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，结合θ=$\frac{π}{2}$及复数的运算，即可得出结论．

解答 解：由题意，（cosθ+isinθ）²⁰¹⁶=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
∴cos2016θ+isin2016θ=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
θ=$\frac{π}{2}$时，cos1008π+isin1008π=a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i，
∴a₂₀₁₆+b₂₀₁₆i=1，
∴a₂₀₁₆+b₂₀₁₆=1
故答案为：1．

点评 本题考查归纳推理，考查复数的运算，考查学生的计算能力，属于中档题．