题目内容
某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
分析：（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数，再用换元法，将函数转化为二次函数，即可求出函数的最值．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数，再用换元法，将函数转化为二次函数，即可求出函数的最值．
解答：解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k1x，g（x）=k2
，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）=
，∴k1=
又g（4）=
，∴k2=
从而f（x）=
x，g（x）=
（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10-x）=
x+
，（0≤x≤10），
令
=t，∴y=
+
t=-
(t-
)2+
（0≤t≤
）
当t=
，ymax≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
由题设f（x）=k1x，g（x）=k2
| x |
由图知f（1）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
又g（4）=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
从而f（x）=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| x |
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10-x）=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 10-x |
令
| 10-x |
| 10-t2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 65 |
| 16 |
| 10 |
当t=
| 5 |
| 2 |
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
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