Question

13．已知函数f（x）=2x²+3x-5．
（1）求当x₁=4，且△x=1时，函数增量△y和平均变化率$\frac{△y}{△x}$；
（2）求当x₁=4，且△x=0.1时，函数增量△y和平均变化率$\frac{△y}{△x}$；
（3）若设x₂=x₁+△x，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义．

Answer 1

分析 先化简函数增量△y和平均变化率，再代入数值计算即可，根据平均变化率的几何意义问题得意解决．

解答 解：（1）△y=f（x₁+△x）-f（x₁）=2（x₁+△x）²+3（x₁+△x）-5-2x₁²-3x₁+5=4x₁△x+2△x²+3△x，
当x₁=4，且△x=1时，△y=4×4×1+2+3=21，
∴平均变化率$\frac{△y}{△x}$=$\frac{21}{1}$=21，
（2）当x₁=4，且△x=0.1时，△y=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92，
∴平均变化率$\frac{△y}{△x}$=$\frac{1.92}{0.1}$=19.2，
（3）在（1）中，$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{f（5）-f（4）}{5-4}$，它表示抛物线上P₀（4，39）与点P₁（5，60）连线的斜率，
在（2）中，$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{f（4.1）-f（4）}{4.1-4}$，它表示抛物线上点P₀（4，39）与点P₂（4.1，40.92）连线的斜率．

点评 本题考查了函数的平均数变化率的问题，以及其几何意义，属于基础题．