Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（-3，0）．
（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C：（x+4）²+y²=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=k_BP得到结果．
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；
（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．

解答：解：（1）∵|CD|=5，
∴圆D的半径r=5-2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=k_BP=2（3分）
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）²=16+a²，A、B的坐标分别为（0，a-r），（0，a+r）
∴kPA=

a-r

3

，kPB=

a+r

3

∴tan∠APB=

a+r 3 - a-r 3

1+ a+r 3 • a-r 3

=

6r

a2-r2+9

=

6r

(r+2)2-16-r2+9

=

6r

4r-3

=

3

2

+

9

8r-6

∵|r+2|²≥16，
∴r≥2，
∴8r-6≥10，
∴

3

2

＜tan∠APB≤

12

5

∴∠APB的最大值为arctan

12

5

．（8分）
（3）假设存在点Q（b，0），由kQA=

a-r

-b

，kQB=

a+r

-b

，得tan∠AQB=|

a+r -b - a-r -b

1+ a+r b • a-r b

|=|

-2br

a2+b2-r2

|
∵a²=（r+2）²-16，
∴tan∠AQB=

2|b|

| b2-12 r +4|

欲使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b²=12，即b=±2

3

，
此时有tan∠AQB=

3

，即得∠AQB=60°为定值，
故存在Q(2

3

，0)或Q(-2

3

，0)，使∠AQB为定值60°．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，进而求出A，B的方程是解答本题的关键．