Question

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数y=f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

2x-1

x+a

的图象上有且仅有两个不动点，试求a的取值范围．
（2）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a＞0），满足

f(0)≥1 f(1+sina)≤1(a∈R)

，且y=f（x）的图象上有两个不动点（x₁，x₁），（x₂，x₂），记函数y=f（x）的对称轴为x=x₀，求证：如果x₁＜2＜x₂＜4，那么x₀＞-1．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：综合题,综合法

分析：（1）根据不动点的定义，得出方程x₀²+（a-2）x₀+1=0，利用函数f（x）=

2x-1

x+a

的图象上有且仅有两个不动点，求a的取值范围；
（2）由x₁＜2＜x₂＜4转化为g（x）=f（x）-x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．

解答：解：（1）若点（x₀，x₀）是不动点，则

2x0-1

x0+a

=x₀，
即x₀²+（a-2）x₀+1=0，
由题意函数f（x）=

2x-1

x+a

的图象上有且仅有两个不动点，∴a=4．
（2）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

由可行域可得

b

a

＜2，∴x₀=-

b

2a

＞-1．

点评：本题是新定义类型题目．利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解．二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解．此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想．