Question

4．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数$\overline{x}$和方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，若所取样本容量n=40，从该样本分布在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]的果实中，随机抽取2个，求都抽到优质果实的概率．

Answer 1

分析 （1）利用频率和为1，求图中a的值；
（2）用该组区间的中点值作代表，估计这种植物果实重量的平均数$\overline{x}$和方差s²；
（3）利用古典概型的概率公式求解即可．

解答 解：（1）由题意，（0.015+0.020+0.040+a+0.075）×5=1，∴a=0.05；
（2）平均数$\overline{x}$=（30×0.02+35×0.04+40×0.075+45×0.05+50×0.015）×5=40，
S²=（30-40）²×0.1+（35-40）²×0.2+（40-40）²×0.375+（45-40）²×0.25+（50-40）²×0.075=28.75，
（3）40×0.1=4，40×0.075=3，
随机抽取2个，有${C}_{7}^{2}$=21种情况，都抽到优质果实的概率1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{21}$=$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．