Question

15．已知函数f（x）=log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$（a＞0，a≠1）的图象关于原点成中心对称，其定义域为区间D．
（1）求实数m的值及函数的定义域D；
（2）若关于x的不等式f（x）＞log_a$\frac{b}{（x-1）（7-x）}$对于?x∈[2，6]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数求出参数m的值，然后根据对数函数成立的条件即可求函数的定义域；
（2）结合对数函数的图象和性质，对底数a进行分类讨论，可得满足条件的实数b的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$（a＞0，a≠1）的图象关于原点成中心对称，
函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
则log_a$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$+log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$=log_a（$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$•$\frac{1+x}{mx-2m+1}$）=0
即$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$•$\frac{1+x}{mx-2m+1}$=1，
即$\frac{1-{x}^{2}}{（2m-1）^{2}-{m}^{2}{x}^{2}}$=1，
即（2m-1）²-m²x²=1-x²，
则$\left\{\begin{array}{l}（2m-1）^{2}=1\\-{m}^{2}=-1\end{array}\right.$，
解得m=1，
此时f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$满足是奇函数，
要使函数有意义，则$\frac{1+x}{x-1}$＞0，
解得x＜-1，或x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）∵关于x的不等式log_a$\frac{1+x}{x-1}$＞log_a$\frac{b}{（x-1）（7-x）}$对于?x∈[2，6]恒成立，
当a∈（0，1）时，$\frac{1+x}{x-1}$＜$\frac{b}{（x-1）（7-x）}$对于?x∈[2，6]恒成立，
即（1+x）（7-x）＜b对于?x∈[2，6]恒成立，
由y=（1+x）（7-x）的图象是开口朝上，且以直线x=3为对称轴的抛物线，
故当x=3时，y取最大值16，
故b＞16；
当a∈（1，+∞）时，$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{b}{（x-1）（7-x）}$对于?x∈[2，6]恒成立，
即（1+x）（7-x）＞b对于?x∈[2，6]恒成立，
由y=（1+x）（7-x）的图象是开口朝上，且以直线x=3为对称轴的抛物线，
故当x=6时，y取最小值7，
故b＜7；
综上所述：当a∈（0，1）时，b＞16；
当a∈（1，+∞）时，b＜7；

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．