已知θ为向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角.|$\overrightarrow{a}$|=2.|$\overrightarrow{b}$|=1.关于x的一元二次方程x2-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0有实根．(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知θ为向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，关于x的一元二次方程x²-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的最值及对应的θ的值．

分析（Ⅰ）由题意根据△=4-4•2•1•cosθ≥0，求得cosθ的范围，可得θ的范围．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的最值及对应的θ的值．

解答解：（Ⅰ）∵θ为向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，关于x的一元二次方程x²-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0有实根．
∴△=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-4•2•1•cosθ≥0，∴cosθ≤$\frac{1}{2}$，∴θ∈[$\frac{π}{3}$，π]．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$），
∵θ∈[$\frac{π}{3}$，π]，∴2θ+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{7π}{3}$]，故当2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$时，即θ=$\frac{7π}{6}$时，函数f（θ）取得最小值为-1；
当2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$时，即θ=π时，函数f（θ）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．