Question

11．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•AE，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）运用同弧所对圆周角相等与角平分线性质，构造两个三角形相似，从而证明出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）利用三角形的面积公式构造出等式，求出sin∠BAC的值，继而求出∠BAC的大小．

解答 解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠DAC，
又$\widehat{AB}$所对的圆周角相等，即∠BEA=∠DCA．
∴在△ABE与△ACD中，
∠BAE=∠DAC，∠BEA=∠DCA，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$．
（2）由（1）知$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，所以有AB•AC=AD•AE．
又△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•AE=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}AB•ACsin∠BAC$．
∴$sin∠BAC=\frac{π}{2}$，故$∠BAC=\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了通过两个角相等证明三角形相似的方法，通过三角形的面积公式构造成等式，求解∠BAC的大小．