题目内容
4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a-|x-a|，x≥0\\|x+a|-a，x＜0\end{array}$，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；
②当a≥4时，f（x-a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；
③f（x）的图象关于x=a和x=-a对称；
④若对?x1∈（-∞，-2），?x2∈（-∞，-1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（$\frac{1}{2}$，1）．
其中正确的结论有①．（写出所有正确结论的序号）
分析 ①利用奇函数的定义进行判断；
②函数在（-∞，-a），（a，+∞）上单调递减，在（-a，a）上单调递增，即可判断；
③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；
④取a=1，得出f（x1）f（x2）=1不恒成立．
解答 解：①设x＜0，则-x＞0，f（x）=|x+a|-a，f（-x）=a-|-a-x|=a-|x+a|=-f（x），
同理，设x＞0，则-x＜0，f（x）=a-|x+a|，f（-x）=|-x+a|-a=|x-a|-a=-f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函数，正确；
②函数在（-∞，-a），（a，+∞）上单调递减，在（-a，a）上单调递增，∴当a≥4时，f（x-a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立，不正确；
③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；
④取a=1，?x1∈（-∞，-2），f（x1）∈（0，+∞），x2∈（-∞，-1），f（x2）∈（-1，+∞），f（x1）f（x2）=1不恒成立，故不正确．
故答案为：①．
点评 本题考查分段函数，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
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| A． | lnx0=$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$ | B． | lnx0≤$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$ | C． | lnx0≥$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$ | D． | lnx0＜$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$ |
16．命题“存在x0∈Z，使2x0+x0+1≤0”的否定是（ ）
| A． | 存在x0∈Z，使2x0+x0+1＜0 | B． | 不存在x0∈Z，使2x0+x0+1＞0 | ||
| C． | 对任意x∈Z，使2x+x+1≤0 | D． | 对任意x∈Z，使2x+x+1＞0 |