Question

16．过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B（A在第一象限） 两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为$2\sqrt{2}$，则$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}$的值为（　　）

• A． $2±\sqrt{2}$
• B． $3±2\sqrt{2}$
• C． $4±2\sqrt{3}$
• D． $4±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
设$\overline{AF}$=t$\overrightarrow{FB}$，可得y₁=-ty₂，
由代入法，可得y₁=-$\frac{4mt}{1-t}$，y₂=$\frac{4m}{1-t}$，m²=$\frac{（1-t）^{2}}{4t}$
∵△AOB的面积为$2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}•1•$|-$\frac{4mt}{1-t}$-$\frac{4m}{1-t}$|=$2\sqrt{2}$，
化简可得t²-6t+1=0，
∴t=3±2$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．