Question

16．已知公差d＞0的等差数列{a_n}中，a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
（1）求公差d及通项a_n；
（2）设S_n=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求证：S_n＜$\frac{1}{40}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，可得$（2{a}_{2}+2）^{2}$=a₁•5a₃，即（2×10+2d+2）²=10×5（10+2d），化为：d²-3d-4=0，d＞0，解得d即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n+6）（4n+10）}$=$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}）$．利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 （1）解：∵a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，∴$（2{a}_{2}+2）^{2}$=a₁•5a₃，∴（2×10+2d+2）²=10×5（10+2d），
化为：d²-3d-4=0，d＞0，解得d=4．∴a_n=10+4（n-1）=4n+6．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n+6）（4n+10）}$=$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}）$．
∴S_n=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$＜$\frac{1}{8}$$[（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}）]$
=$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+5}）$＜$\frac{1}{40}$-$\frac{1}{16n+40}$＜$\frac{1}{40}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列通项公式、“裂项求和方法”、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．