Question

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x²+y²=b²引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是

b3

a

．

Answer 1

分析：设点P（x₀，y₀），以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0，与⊙O的方程x²+y²=b²相减得x0x+y0y=b2，即是过切点A，B的直线方程，进而得到点M，N的坐标，利用两点间的距离公式可得|MN|，利用点到直线的距离公式可得点O到直线MN的距离d，进而得到三角形OMN的面积，S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
利用点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，及其基本不等式可得a2b2=b2

x

2 0

+a2

y

2 0

≥2ab

x 2 0 y 2 0

=2ab|x₀y₀|，进而得到△MON面积的最小值．

解答：解：设点P（x₀，y₀），则以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0，
与⊙O的方程x²+y²=b²相减得x0x+y0y=b2，即是过切点A，B的直线方程，（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

b2

y0

，∴N(0，

b2

y0

)；令y=0，得x=

b2

x0

，∴M(

b2

x0

，0)．
∴|MN|=

( b2 x0 )2+( b2 y0 )2

=

b2 x 2 0 + y 2 0

|x0y0|

，
点O到直线MN的距离d=

b2

x 2 0 + y 2 0

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
∵点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2

x

2 0

+a2

y

2 0

≥2ab

x 2 0 y 2 0

=2ab|x₀y₀|，当且仅当|bx₀|=|ay₀|时取等号．
∴2|x₀y₀|≤ab，
∴S_△OMN≥

b4

ab

=

b3

a

．
故△MON面积的最小值是

b3

a

．
故答案为

b3

a

．

点评：本题中考查了直线与圆相切、圆的方程、椭圆的方程与性质、基本不等式的性质、点到直线的距离公式、三角形的面积等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．